已知两个正数a，b，可按规律c=ab+a+b推广为一个新数c，在a，b，c三个数种取连个较大的数，按上述规则扩充到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．（1）正数1，2

Question

已知两个正数a，b，可按规律c=ab+a+b推广为一个新数c，在a，b，c三个数种取连个较大的数，按上述规则扩充到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．
（1）正数1，2经过两次扩充后所得的数为______
（2）若p＞q＞0，经过五次操作后扩充得到的数为（q+1）^m（p+1）ⁿ-1（m，n为正整数），则m+n=______．

Answer 1

（1）a=1，b=2，按规则操作三次，
第一次：c=ab+a+b=1×2+1+2=5
第二次，5＞3＞1所以有：c=2×5+2+5=17
（2）p＞q＞0 第一次得：c₁=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1
因为c＞p＞q，所以第二次得：c₂=（c₁+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）²（q+1）-1
所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c₃=（c₂+1）（c₁+1）-1=（p+1）³（q+1）²-1
第四次可得：c₄=（c₃+1）（c₂-1）-1=（p+1）⁵（q+1）³-1
故经过5次扩充，所得数为：（q+1）⁸（p+1）⁵-1
∴m=8，n=5
故答案为：17；13．