已知椭圆C：x2a2+y2=1经过点P（1，22）．（Ⅰ）求椭圆C的方程及其离心率；（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线（不经过点P）与椭圆交于A、B两点，当∠APB的平分线为PF时，求直线AB的斜率k．

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+y2=1经过点P（1，(√(2))/(2)）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及其离心率；
（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线（不经过点P）与椭圆交于A、B两点，当∠APB的平分线为PF时，求直线AB的斜率k．

Answer 1

（Ⅰ）把点P(1 ，(√(2))/(2))代入(x2)/(a2)+y2＝1，可得a²=2．
故椭圆的方程为(x2)/(2)+y2＝1，
所以c=1，椭圆的离心率为e＝(1)/(√(2))．　…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（1，0）．
当∠APB的平分线为PF时，由P(1 ，(√(2))/(2))和F（1，0）知：PF⊥x轴．
记PA、PB的斜率分别为k₁、k₂．所以，PA、PB的斜率满足k₁+k₂=0…（6分）
设直线AB方程为y=k（x-1），代入椭圆方程(x2)/(2)+y2＝1并整理可得，（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2＝(4k2)/(1+2k2)，x1x2＝(2(k2−1))/(1+2k2)
又P(1 ，(√(2))/(2))，则k1＝

作业帮用户 2017-09-24 举报

问题解析

（Ⅰ）利用椭圆C：

(x2)/(a2)+y2=1经过点P（1，(√(2))/(2)），求出a，可得求椭圆C的方程及其离心率；
（Ⅱ）记PA、PB的斜率分别为k₁、k₂．所以，PA、PB的斜率满足k₁+k₂=0，设直线AB方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理进行计算，即可求直线AB的斜率k．

名师点评

本题考点：

椭圆的简单性质．

考点点评：

本题考查椭圆的基本知识，直线和椭圆的位置关系等知识点，解题时要认真审题，仔细解答，合理地进行等价转化．

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