证明一致连续y=sin√x(根号下x)(在[0,+∞]上)

Question

证明一致连续
y=sin√x(根号下x)
(在[0,+∞]上)

Answer 1

难道你非要用那个什么ε－δ来说明?那就麻烦点啊
首先 根据 康托尔定理（在有界闭区间[a,b]上有定义的连续函数f(x)在此闭区间上一致连续）,得出 y＝sin√x 在[0,3] 上一致连续.
再来证明 y=sin√x 在[1,+∞]上面 一致连续：
在 [1,+∞]上面任取2点 X1 ,X2 .
|sin√X1 －sin√X2|=|2cos[(√X1＋√X2)/2] sin[(√X1－√X2)/2]|≤2|sin[(√X1－√X2)/2]|≤2|(√X1－√X2)/2|=|√X1－√X2|
=|(X1 － X2)/(√X1＋√X2)|≤|X1 － X2|/2
对于 任给的 ε＞0,取 δ＝2ε.
则当 |X1 － X2|＜δ时 恒有|sin√X1 －sin√X2|＜ε
所以y=sin√x 在[1,+∞]上面 一致连续.
现在我们有了y=sin√x 在[1,+∞],和[0,3]上面 一致连续 下面就来说明 y=sin√x 在[0,+∞]上面一致连续：
对于 任给的 ε＞0
存在 δ1＞0,当X1,X2都属于[0,3],|X1－X2|＜δ1时
恒有|sin√X1 －sin√X2|＜ε,
又存在δ2＞0,当X1,X2都属于[1,+∞],|X1－X2|＜δ2时
恒有|sin√X1 －sin√X2|＜ε,
今取δ＝min{ 1,δ2,δ1}.X1,X2都属于[0,+∞],当|X1－X2|＜δ时,
则X1,X2 或同时属于[0,3],或同时属于[1,+∞],故恒有
|sin√X1 －sin√X2|＜ε.
所以y＝sin√x 在[0,+∞] 上一致连续 □
ε－δ.累死.