求关于x的方程至少有一个负实根的充要条件．

Question

求关于x的方程至少有一个负实根的充要条件．____

Answer 1

【分析】先对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在二次项系数不为0时又分两根一正一负和两根均为负值两种情况，综合在一起找到a所满足的条件a≤1，再利用上述过程可逆，就可以得到充要条件是a≤1．

①a=0⇒x=-适合．
②a≠0时，显然方程没有零根．
若方程有两异号实根，则a＜0；
若方程有两个负的实根，
则必有⇒0<a≤1．
综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1．
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1．

【点评】本题主要考查一个一元二次根的分布问题．在二次项系数不确定的情况下，一定要分二次项系数分为0和不为0两种情况讨论．