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(2011•鄞州区模拟)在一次研究性学习活动中,某小组将两张互相重合的正方形纸片ABCD和EFGH的中心O用图钉固定住,保持正方形ABCD不动,顺时针旋转正方形EFGH,如图所示.(1)小组成员经

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(2011•鄞州区模拟)在一次研究性学习活动中,某小组将两张互相重合的正方形纸片ABCD和EFGH的中心O用图钉固定住,保持正方形ABCD不动,顺时针旋转正方形EFGH,如图所示.
(1)小组成员经观察、测量,发现在旋转过程中,有许多有趣的结论.下面是旋转角度小于90°时他们得到的一些猜想:
①ME=MA
②两张正方形纸片的重叠部分的面积为定值;
③∠MON保持45°不变.
请你对这三个猜想做出判断(正确的在序号后的括号内打上“√”,错误的打上“×”):
①______  ②______ ③______
(2)上面的三个猜想中若有正确的,请选择其中的一个给予证明;若都是错误的,请选择其一说明理由.
(3)小组成员还发现:(1)中的△ENN的面积S随着旋转角度∠AOE的变化而变化.请你指出当旋转角∠AOE为多少度时△ENN的面积S取得最大值.(不必证明)
▼优质解答
答案和解析
(1)故答案为:①(√)②(×)③(√).

(2)证明:对于猜想①,
连接OA、OE、AE,
由已知得:OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,
∵∠OAM=∠OEM=45°,
∴∠OAE-∠OAM=∠OEA-∠OEM,
即∠MAE=∠MEA,
∴ME=MA.
对于猜想③,
证明:OM平分∠EOA,
同理ON平分∠DOE,
∴∠MOE+∠NOE=
1
2
∠AOD=
1
2
×90°=45°,
即∠MON保持45°不变.

(3)当∠AOE=45°时,△EMN的面积S取最大值.