挂历纸长80厘米,宽50厘米,请你利用挂历纸和事先准备好的透明胶布作成一个无盖的长方体纸盒(粘贴处既不重叠有不能有缝隙)设计一个方案尽量使纸盒容积最大,那纸盒的最大容积是多少?

Question

挂历纸长80厘米,宽50厘米,请你利用挂历纸和事先准备好的透明胶布作成一个无盖的长方体纸盒(粘贴处既不重叠有不能有缝隙)设计一个方案尽量使纸盒容积最大,那纸盒的最大容积是多少?

Answer 1

要用一张长方形的纸制作无盖纸盒,方法是四角剪去四个正方形然后折叠起来拼接而成,边长就是纸盒的高,设这四个正方形边长为x厘米,那么挂历纸中心的纸盒底就是边长为(80-2x)厘米和(50-2x)厘米的长方形,体积是V(x)=x(80-2x)(50-2x)=4x(x^2-65x+1000)=4(x^3-65x^2+1000x),要使纸盒所有边不为0,明显V(0)=V(25)=0,所以极大值在区间(0,25)上.为了求V的极大值,如果你学过微积分,就可以对该式求导：V’=4(3x^2-130x+1000),找极值点就是V’=0的点,有x=10和x=100/3,对照得到x=10.这个时候就是一个底面为边长30厘米和60厘米,高为10厘米的长方体,最大容积10*30*60=18000立方厘米.