三个连续自然数的平方和（填是不是可能是）某个自然数的平方对于任意有理数x,y,定义一种运算※,规定x※y=ax+by-cxy其中的abc表示已知数,等式右边是通常的加减乘运算.又知道1※2=32※3=4x

Question

三个连续自然数的平方和（填 是 不是 可能是） 某个自然数的平方
对于任意有理数x,y,定义一种运算※,规定
x※y=ax+by-cxy
其中的abc表示已知数,等式右边是通常的加减乘运算.又知道1※2=3 2※3=4 x※m=x(m≠0） 则m的数值是
原因

Answer 1

第一题麻烦些,第二题稍容易.
需要分两种情况讨论.
（1）三个连续自然数之和为偶数,则必定是两个奇数,一个偶数
不妨设为三个连续自然数为2n-1,2n,2n+1
于是,其平方和为(2n-1)²+(2n)²+(2n+1)²=12n²+2是个偶数
则如果它是某个自然数的平方,则一个是偶数的平方,不妨设这个偶数为2m
于是有：12n²+2=4m²即6n²+1=2m²,左边是奇数,右边是偶数,所以不可能.
（2）三个连续自然数之和为奇数,则必定是一个奇数,两个偶数
不妨设为三个连续自然数为2n,2n+1,2n+2
于是,其平方和为(2n)²+(2n+1)²+(2n+2)²=12n²+12n+5是个奇数
则如果它是某个自然数的平方,则一个是奇数的平方,不妨设这个奇数为2m+1
于是有：12n²+12n+5=4m²+4m+1即3n²+3n+1=m²+m,
3n(n+1)+1=m(m+1)
右边为m(m+1)是两个连续自然数之积,必定是偶数,
左边的n(n+1)也两个连续自然数之积,必定是偶数,
因此,3n(n+1)+1必定是奇数,所以也不可能.
2.由x※m=ax+bm-xmc=x可知bm=0,而m≠0,则b=0
于是有：
1※2=a+2b-2c=a-2c=3
2※3=2a+3b-6c=2a-6c=4
可解出：a=5,c=1
x※m=ax+bm-xmc=5x-xm=x
所以m=4