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设函数f(x)=1/2(3^x-k*3^-x)是奇函数,(1)求k的值(2)解方程f(x)=40/9.(3)判断函数单调性并证明
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设函数f(x)=1/2(3^x-k*3^-x)是奇函数,(1)求k的值 (2)解方程f(x)=40/9 .(3)判断函数单调性并证明
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答案和解析
因为是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即f（-x）=1/2(3^-x-k*3^x)=-1/2(3^x-k*3^-x)=1/2(k3^-x-*3^x)
可得3^-x-k*3^x=k3^-x-*3^x,进而3^x+*3^-x=k3^-x+k*3^x=k（3^-x+3^x）,所以k=1、
（2）f（x）=1/2(3^x-3^-x)=40/9,令3^x=t,所以1/2(t-1/t)=40/9可得9t^2-80t-9=0,解得
t=9或t=-1/9,由于3^x=t>0,所以t只能取9,从而可得方程得跟为3^x=9的根,即x=2
（3）函数f(x)=1/2(3^x-3^-x)所以f（t）=1/2(t-1/t)=t/(2t²-1),对这个函数求导
f‘（t）=[2t²-1-2t^2]/(2t²-1）^2=-1/(2t²-1）^2
可得3^-x-k*3^x=k3^-x-*3^x,进而3^x+*3^-x=k3^-x+k*3^x=k（3^-x+3^x）,所以k=1、
（2）f（x）=1/2(3^x-3^-x)=40/9,令3^x=t,所以1/2(t-1/t)=40/9可得9t^2-80t-9=0,解得
t=9或t=-1/9,由于3^x=t>0,所以t只能取9,从而可得方程得跟为3^x=9的根,即x=2
（3）函数f(x)=1/2(3^x-3^-x)所以f（t）=1/2(t-1/t)=t/(2t²-1),对这个函数求导
f‘（t）=[2t²-1-2t^2]/(2t²-1）^2=-1/(2t²-1）^2
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