（1）利用函数单调性的定义证明函数h（x）=x+3x在[3，+∞）上是增函数；（2）我们可将问题（1）的情况推广到以下一般性的正确结论：已知函数y＝x+tx有如下性质：如果常数t＞0，那么该函

Question

（1）利用函数单调性的定义证明函数h（x）=x+(3)/(x)在[√(3)，+∞）上是增函数；
（2）我们可将问题（1）的情况推广到以下一般性的正确结论：已知函数y＝x+(t)/(x)有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在(0，√(t)]上是减函数，在[√(t)，+∞)上是增函数．
若已知函数f(x)＝(4x2−12x−3)/(2x+1)，x∈[0，1]，利用上述性质求出函数f（x）的单调区间；又已知函数g（x）=-x-2a，问是否存在这样的实数a，使得对于任意的x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，若不存在，请说明理由；如存在，请求出这样的实数a的值．

Answer 1

（1）设x1，x2∈[√(3)，+∞)，且x₁＜x₂，
则f(x1)−f(x2)＝x1+(3)/(x1)−x2−(3)/(x2)=((x1−x2)(x1x2−3))/(x1x2)，
∵x2＞x1≥√(3)，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞3．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
因此，函数在给定的区间上单调递增．
（2）∵y＝f(x)＝(4x2−12x−3)/(2x+1)＝2x+1+(4)/(2x+1)−8，
设u=2x+1，x∈[0，1]，
则1≤u≤3，
则y＝u+(4)/(u)−8，u∈[1，3]，
由已知性质得，
当1≤u≤2，即0≤x≤(1)/(2)时，f（x）单调递减，
∴递减区间为[0，(1)/(2)]，
当2≤u≤3，即(1)/(2)≤x≤1时，f（x）单调递增，
∴递增区间为[(1)/(2)，1]．
由f(0)＝−3，f((1)/(2))＝−4，f(1)＝−(11)/(3)，
得f（x）的值域为[-4，-3]，
由于g（x）=-x-2a为减函数，
故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]
由题意，f（x）的值域为g（x）的值域的子集，
从而有

作业帮用户 2017-10-13 举报

问题解析

（1）利用函数单调性的定义进行证明．
（2）根据推广的结论，确定函数f（x）的单调区间，利用条件g（x₂）=f（x₁）成立，建立条件关系，即可求a．

名师点评

本题考点：

函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．

考点点评：

本题主要考查函数单调性的判断和证明，以及对勾函数的性质，考查学生的理解和应用能力．

扫描下载二维码

©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议