已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=1+1x−1；（1）求f（2）的值及y=f（x）的解析式；（2）用定义法判断y=f（x）在区间（-∞，0]的单调性．

Question

已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=1+(1)/(x−1)；
（1）求f（2）的值及y=f（x）的解析式；
（2）用定义法判断y=f（x）在区间（-∞，0]的单调性．

Answer 1

（1）由于f（x）为偶函数，则f（2）=f（-2）=1+(1)/(−2−1)=0，
又x＞0时，-x＜0，由函数f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x）=1+(1)/(−x−1)=1-(1)/(x+1)，
综上：f（x）=

1+(1)/(x−1)，x≤0

1−(1)/(x+1)，x＞0

；
（2）在（-∞，0]上任取x1，

x

2

，且x1＜

x

2

，则f(x1)−f(

x

2

)＝(1+(1)/(x1−1))−(1+(1)/(x2−1))＝(1)/(x1−1)−(1)/(x2−1)＝(x2−x1)/((x1−1)(x2−1))；
由x₁-1＜0，x₂-1＜0，x₂-x₁＞0，则f(x1)−f(

x

2

)＞0，即f(x1)＞f(

x

2

)．
由定义可知：函数y=f（x）在区间（-∞，0]单调递减．