①在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是.(这题我做出来的和正确答案不一样,自己又检查不出来错在哪里...)②

Question

① 在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是.(这题我做出来的和正确答案不一样,自己又检查不出来错在哪里...)
② 已知三棱锥P-ABC的三侧棱PA,PB,PC两两垂直,且长度分别为3,4,5,求该三棱锥外接球的表面积和体积.(这个题细细讲一讲,我是完全不会...)
第一题我也得3/4,但是答案不是这个.

Answer 1

1.“每个截去的三棱锥体积可看出一底面积为1/2*1/2*1/2=1/8,高为1/2的柱体体积的一半”这个是错误的.三棱锥的体积应用1/3SH计算,截去的每块的底面积都是以1/2的开方为边长的正三角形,从而其底面积S=3的开方/8.至于H的计算可以设三棱锥顶点在底面积的投影为O,则O为其底面积的垂心（正三角形的垂心为正三角形高距底边1/3处）,而该三棱锥高H、O和底面积任意一边长中点的连线、该任意边长的中点和顶点的连线构成一直角三角形,从而可以求得H=3的开方/6,所以每块截去的体积=1/48
,最终可得剩余几何体体积=1-8/48=5/6.（不知道有没算对哈~）
2.该三棱锥P-ABC可以看成一长方体的一部分,该长方体其中一顶点为P和三条棱长分别为3、4、5
从而其外接球的半径=（3*3+4*4+5*5）的开方=50的开方,从而……