如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC，∠ABC=45°．（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）若三角形PAB是边长为2的等边三角形，求三棱锥P-ABC外接球的表面积．

Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC，∠ABC=45°．

（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）若三角形PAB是边长为2的等边三角形，求三棱锥P-ABC外接球的表面积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）作PO⊥AB于O…①，连接OC，
∵平面PAB⊥平面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，
∴PO⊥面ABCD．
∵PB=PC，∴△POB≌△POC，∴OB=OC，
又∵∠ABC=45°，∴OC⊥AB…②
又PO∩CO=O，由①②，得AB⊥面POC，
又PC⊂面POC，∴AB⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）∵三角形PAB是边长为2的等边三角形，
∴PO=√(3)，OA=OB=OC=1．
∵PO⊥面ABCD，PO>OA=OB=OC，线段PO上取点E，
∴EA=EB=EC，E是外接球的球心，
设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，
EO=√(3)-R，EC=R，EC²=EO²+OC²，
R2=12+(√(3)-R)2，R=(2√(3))/(3)，
∴三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR2=(16π)/(3)．…（12分）