设z=f（x，3x-y），x=g（y，z）+φ（zy），其中f，g，φ在其定义域内可微，求dzdx．

Question

设z=f（x，3x-y），x=g（y，z）+φ（(z)/(y)），其中f，g，φ在其定义域内可微，求(dz)/(dx)．

Answer 1

由z=f（x，3x-y），两边对x求导，得
(dz)/(dx)＝f′1+(3−(dy)/(dx))f′2…①
由x=g（y，z）+φ（(z)/(y)），两边对x求导，得
1＝(dy)/(dx)g′1+(dz)/(dx)g′2+(y(dz)/(dx)−z(dy)/(dx))/(y2)φ′…②
由②，得
(dy)/(dx)＝(1−g′2(dz)/(dx))/(g′1−(z)/(y2)φ′)
代入到①式，解得
(dz)/(dx)＝((f′1+3f′2)(g′1−(z)/(y2)φ′))/(g′1−(z)/(y2)φ′+f′2−f′2g′2)