已知数列{an}的通项公式为an=2n-（-1）n，n∈N*．（1）在数列{an}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{an}中，一定存在满

Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ-（-1）ⁿ，n∈N^*．
（1）在数列{a_n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；
（2）试证在数列{a_n}中，一定存在满足条件1<r<s的正整数r、s，使得a₁、a_r、a_s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；
（3）在数列{a_n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）若存在连续的三项a_k，a_k+1，a_k+2成等差数列，k∈N^*，
则2a_k+1=a_k+a_k+2，
即：2[2^k+1-（-1）^k+1]=2^k-（-1）^k+2^k+2-（-1）^k+2，…（1分）
所以2^k=-4（-1）^k，…（2分）
由于=-4（-1）^k=±4，∴2^k=4，即k=2．
所以当且仅当k=2时，a_k，a_k+1，a_k+2成等差数列…（4分）
（2）若a₁，a_r，a_s成等差数列，则2[2^r-（-1）^r]=3+2^s-（-1）^s，
∴2^s-2^r+1=（-1）^s-2（-1）^r-3…（6分）
∵rs-2^r+1≥0，
而（-1）^s-2（-1）^r-3≤0，…（8分）
∴2^s-2^r+1=0，可得s=r+1，且s为大于等于4的偶数…（10分）
（3）由于a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹-2ⁿ+（-1）ⁿ=2ⁿ+2（-1）ⁿ≥0，…（12分）
不妨设a_q，a_r，a_s，a_t成等差数列，其中1≤q于是a_q+a_t=a_r+a_s，即2^q-（-1）^q+2^t-（-1）^t=2^r-（-1）^r+2^s-（-1）^s，
所以2^q+2^t-2^r-2^s=（-1）^q+（-1）^t-（-1）^r-（-1）^t．（*）
因为（*）式左边≥2²+2=6，
（*）式右边≤4，
所以（*）式无解，故在数列{a_n}中不存在某4项成等差数列…（16分）