设数{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，有an＞0且2Sn＝a2n+an成立．（1）求a1、a2的值；（2）求数列{an}的通项公式an；（3）设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn＝Sncn，若数列{Tn}为单调递增数列，

Question

设数{a_n}的前n项和为S_n，若对任意的n∈N^*，有a_n＞0且 2Sn＝

a

2 n

+an成立．
（1）求a₁、a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，令Tn＝(Sn)/(cn)，若数列{T_n}为单调递增数列，求实数c的取值范围．

Answer 1

（1）∵对任意的n∈N^*，有a_n＞0且 2Sn＝

a

2 n

+an成立，
∴2S₁=2a1＝a12+a1，
即a12−a1＝0，
解得a₁=0（舍），a₁=1．…（2分）
2S2＝2(1+a2)＝a22+a2，
整理，得a22−a2−2＝0，
解得a₂=-1（舍），a₂=2．…（4分）
（2）∵2Sn＝

a

2 n

+an，
∴2S_n+1=an+12+an+1，
两式作差可得2S_n+1-2S_n=2a_n+1=an+12+a_n+1-an2-（a_n+1+a_n）=0，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，…（6分）
因为a_n＞0，所以a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-1=0，…（8分）
所以数列{a_n}为等差数列，…（9分）
首项a₁=1，公差为1，所以a_n=n；…（10分）
（3）∵a_n=n，∴Sn＝(n(n+1))/(2)，…（11分）
∴T_n+1-T_n=((n+1)(n+2))/(2•cn+1)−(n(n+1))/(2•cn)=(n+1)/(2•cn+1)(n+2−cn)，…（12分）
数列{T_n}为单调递增数列，
当且仅当T_n+1-T_n＞0⇔n+2-cn＞0⇔c＜(n+2)/(n)＝1+(2)/(n)恒成立，…（14分）
即c≤1，…（15分）
显然c＞0，综上所述c∈（0，1]．…（16分）