过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F，引两条相互垂直的弦AC，BD．求四边形ABCD面积的最小值为．

Question

过抛物线y²=2px（p>0）的焦点F，引两条相互垂直的弦AC，BD．求四边形ABCD面积的最小值为___．

Answer 1

设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线CD的斜率为-(1)/(k)．
直线AB的方程为y=k（x-(p)/(2)），
联立

y=k(x-(p)/(2))

y2=2px

，消去y得4k²x²-（4k²p+8p）x+k²p²=0，
从而xA+xB=(k2p+2p)/(k2)，x_A．x_B=(p2)/(4)，
由弦长公式得|AB|=(2k2p+2p)/(k2)，
以-(1)/(k)换k得|CD|=2k²p+2p，
故所求面积为S=(1)/(2)|AB||CD|=(1)/(2)•(2p(k2+1))/(k2)•2p(k2+1)
=2p2(k2+(1)/(k2)+2)≥8p²（当k²=1时取等号），
即面积的最小值为8p²．