设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016的值为（）A.-log20172016B.-1C.log20172016-1D.1

Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₇x₁+log₂₀₁₇x₂+…+log₂₀₁₇x₂₀₁₆的值为（　　）

A. -log₂₀₁₇2016

B. -1

C. log₂₀₁₇2016-1

D. 1

Answer 1

由y=xⁿ⁺¹，得y′=（n+1）xⁿ，∴y′|_x=1=n+1，
∴曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），
取y=0，得x_n=1-(1)/(n+1)=(n)/(n+1)，
∴x₁x₂…x₂₀₁₆=(1)/(2)×(2)/(3)×…×(2016)/(2017)=(1)/(2017)，
则log₂₀₁₇x₁+log₂₀₁₇x₂+…+log₂₀₁₇x₂₀₁₆=log₂₀₁₇（x₁x₂…x₂₀₁₆）
=log₂₀₁₇(1)/(2017)=-1．
故选：B．