如图，在以点P为圆心，C为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方

Question

如图，在以点P为圆心，C为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F．若△OEF的面积等于2√(2)，求直线l的方程．

Answer 1

（I）以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
则A（-2，0），B（2，0），D(0，2)，P(√(3)，1)，
依题意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=√((2+√(3))2+12)−√((2−√(3))2+12)＝2√(2)＜|AB|＝4
∴曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线．
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c=2，2a＝2√(2)⇒a²=2，b²=c²-a²=2，
∴曲线C的方程为(x2)/(2)−(y2)/(2)＝1．
（II）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E，F，
∴

作业帮用户 2017-09-25 举报

问题解析

（I）以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，可知曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线，求出a．b值后，可得曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，联立双曲线方程，由韦达定理，及△OEF的面积等于2√(2)，求出k值，可得直线l的方程．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．

考点点评：

本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的轨迹问题，解答（I）的关键是建立适当的坐标系，解答（II）的关键是“联立方程+设而不求+韦达定理”三架马车．

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