求过圆点的曲线y=y（x），是曲线上任一点P的法线段PQ（即Q是过P点所作曲线法线与x轴的交点）的中点位于抛物线2y2=x上．

Question

求过圆点的曲线y=y（x），是曲线上任一点P的法线段PQ（即Q是过P点所作曲线法线与x轴的交点）的中点位于抛物线2y²=x上．

Answer 1

设M点坐标为：M（x，y），则法线方程为：Y-y=(1)/(y′)（X-x）．
令Y=0 得，X=yy′+x．
因此，P点坐标为（yy′+x，0），
MP的中点的坐标为((1)/(2)yy′+x，(y)/(2))．
因为MP的中点在抛物线2y²=x上，
所以，
(y2)/(2)=(1)/(2)yy′+x，
即：y²=yy′+2x，
即：y²=(1)/(2)(y2)′+2x，
所以，（y²）′-2y²=-4x．
两边同时乘以e^-2x，可得：
（y²e^-2x）′=-4xe^-2x，
两边同时积分可得：
y²e^-2x =2xe^-2x+e^-2x+C．
由y（0）=0 可得：C=-1，
故y²e^-2x =2xe^-2x+e^-2x-1．
从而所求的曲线方程为：y²=1+2x-e^2x．