用极值想法推导一点到直线ax+by+c=0的距离公式

Question

用极值想法推导一点到直线ax+by+c=0的距离公式

Answer 1

设点M(x0,y0)到ax+by+c=0上的点(x,-ax/b-c/b)的距离的平方为：
L=(x-x0)^2+(y0+ax/b+c/b)^2
L'=2(x-x0)+2a/b(y0+ax/b+c/b)=0
(1+a^2/b^2)x=x0-ay0/b-ac/b^2
x=(b^2x0-aby0-ac)/(a^2+b^2)
∴L的最小值为：[(b^2x0-aby0-ac)/(a^2+b^2)-x0]^2+[y0+a/b(b^2x0-aby0-ac)/(a^2+b^2)+c/b]^2
=(ax0+by0+c)^2/(a^2+b^2)
从而点M(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离为：|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2).