已知点P在椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）上，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足|PF1|=6-|PF2|，且椭圆C的离心率为53．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点Q（1，0）且不与x轴垂直的直线l与椭

Question

已知点P在椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）上，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，满足|PF₁|=6-|PF₂|，且椭圆C的离心率为(√(5))/(3)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点Q（1，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N，在x轴上是否存在定点G，使得

GM

•

GN

为定值．若存在，求出所有满足这种条件的点G的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）因为|PF₁|=6-|PF₂|，所以2a=6，即a=3
又(c)/(a)＝(√(5))/(3)，所以c＝√(5)，b²=a²-c²=4
所以椭圆C的方程为(x2)/(9)+(y2)/(4)＝1．
（Ⅱ）假设存在符合条件的点G（t，0），因l不垂直于x轴，设直线l的方程为y=k（x-1），
与椭圆C：(x2)/(9)+(y2)/(4)＝1联立并消去y得：（4+9k²）x²-18k²x+9k²-36=0
∵点Q（1，0）在椭圆内部，∴直线l必与椭圆有两个不同交点．
设点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则x1+x2＝(18k2)/(4+9k2)，x1x2＝(9k2−36)/(4+9k2)．

GM

＝(x1−t，y1)，

GN

＝(x2−t，y2)

GM

•

GN

＝(x1−t)(x2−t)+y1y2

，   ＝x1x2−(x1+x2)t+t2+k2(x1−1)(x2−1)

，   ＝(1+k2)x1x2−(x1+x2)(t+k2)+t2+k2

=(1+k2)(9k2−36)/(4+9k2)−(18k2)/(4+9k2)(t+k2)+t2+k2．（﹡）
解法一：设

GM

•

GN

＝s，则(1+k2)(9k2−36)/(4+9k2)−(18k2)/(4+9k2)(t+k2)+t2+k2＝s，
整理得：（9t²-18t-9s-23）k²+4t²-4s-36=0，此式对任意k∈R恒成立；
所以

9t2−18t−9s−23＝0

4t2−4s−36＝0

，解得

t＝(29)/(9)

s＝(112)/(81)

．
∴存在这样的定点G((29)/(9)，0)满足题意．
解法二：由（﹡）式得：

GM

•

GN

＝((1+k2)(9k2−36)−18k2(t+k2)+k2(9k2+4))/(9k2+4)+t2

＝(−27k2−36−18tk2+4k2)/(9k2+4)+t2＝(−3(9k2+4)−24−18tk2+4k2)/(9k2+4)+t2

=(−24−18tk2+4k2)/(9k2+4)+t2−3=((4)/(9)(9k2+4)−(16)/(9)−24−18tk2)/(9k2+4)+t2−3
=(−2t(9k2+4)−(16)/(9)−24+8t)/(9k2+4)+t2−3+(4)/(9)=(8t−(232)/(9))/(9k2+4)+t2−2t−(23)/(9)．
若

GM

•

GN

为定值，则(8t−(232)/(9))/(9k2+4)+t2−2t−(23)/(9)对任意k∈R恒为常数，
所以必有8t−(232)/(9)＝0，即t＝(29)/(9)．
从而

GM

•

GN

＝t2−2t−(23)/(9)＝(112)/(81)．
所以存在这样的定点G((29)/(9)，0)满足题意．