已知点P在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,满足|PF1|=6-|PF2|,且椭圆C的离心率为53.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若过点Q(1,0)且不与x轴垂直的直线l与椭
已知点P在椭圆C:+=1(a>b>0)上,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,满足|PF1|=6-|PF2|,且椭圆C的离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过点Q(1,0)且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N,在x轴上是否存在定点G,使得•为定值.若存在,求出所有满足这种条件的点G的坐标;若不存在,说明理由.
答案和解析
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/24/1535087389-9014.jpg)
(Ⅰ)因为|PF
1|=6-|PF
2|,所以2a=6,即a=3
又
=,所以c=,b2=a2-c2=4
所以椭圆C的方程为+=1.
(Ⅱ)假设存在符合条件的点G(t,0),因l不垂直于x轴,设直线l的方程为y=k(x-1),
与椭圆C:+=1联立并消去y得:(4+9k2)x2-18k2x+9k2-36=0
∵点Q(1,0)在椭圆内部,∴直线l必与椭圆有两个不同交点.
设点M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.=(x1−t,y1),=(x2−t,y2)
| •=(x1−t)(x2−t)+y1y2 | , =x1x2−(x1+x2)t+t2+k2(x1−1)(x2−1) | , =(1+k2)x1x2−(x1+x2)(t+k2)+t2+k2 |
| |
=(1+k2)−(t+k2)+t2+k2.(﹡)
解法一:设•=s,则(1+k2)−(t+k2)+t2+k2=s,
整理得:(9t2-18t-9s-23)k2+4t2-4s-36=0,此式对任意k∈R恒成立;
所以 | 9t2−18t−9s−23=0 | 4t2−4s−36=0 |
| |
,解得.
∴存在这样的定点G(,0)满足题意.
解法二:由(﹡)式得:
| •=(1+k2)(9k2−36)−18k2(t+k2)+k2(9k2+4) | 9k2+4 | +t2 | =+t2=−3(9k2+4)−24−18tk2+4k2 | 9k2+4 | +t2 |
| |
=+t2−3=+t2−3
=+t2−3+=+t2−2t−.
若•为定值,则+t2−2t−对任意k∈R恒为常数,
所以必有8t−=0,即t=.
从而•=t2−2t−=.
所以存在这样的定点G(,0)满足题意.
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