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求y=sinx+2sinxcosx+cosx-4的值域
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求y=sinx+2sinxcosx+cosx-4的值域
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令u=sinx+cosx = √2 sin(x+π/4) ∈[-√2,√2]
u² = sin²x+cos²x+2sinxcosx = 1+2sinxcosx
∴4sinxcosx = 2(u²-1)y = u - 2(u²-1) + 1= -2u² + u +1= - 2 (u - 1/4)² + 9/8u∈[-√2,√2]当u=1/4时取最大值 9/8当u= -√2时取最小值 -3-√2故原函数的值域 [ -3-√2,9/8]
u² = sin²x+cos²x+2sinxcosx = 1+2sinxcosx
∴4sinxcosx = 2(u²-1)y = u - 2(u²-1) + 1= -2u² + u +1= - 2 (u - 1/4)² + 9/8u∈[-√2,√2]当u=1/4时取最大值 9/8当u= -√2时取最小值 -3-√2故原函数的值域 [ -3-√2,9/8]
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