已知正四棱锥的底面边长为1,侧棱长为根号2,求外接球和内切球半径.最好有图形解释.

Question

已知正四棱锥的底面边长为1,侧棱长为根号2,求外接球和内切球半径.
最好有图形解释.

Answer 1

即外接圆半径为√6/4 
即内切球半径为√6×(√7-1)/12 
如图 
AB=1; OB=√2 
易知 
BE=√2/2 
EG=1/2 
正四棱锥的外接球和内切球球心肯定在OE上,设外接球球心为M,内切球球心为N 
且符合以下条件： 
外接球：OM=MB（到顶点距离相等） 
内切球：NE=NF（到面距离相等） 
因此,我们得到△OBE 
BE=√2/2 
OB=√2 
因此∠BOE=30度 
OE=BE×√3=√6/2 
故OM=MB=OE/2=√6/4 
即外接圆半径为√6/4 
考查△OEG, 
EG=1/2 
OE=√6/2 
故OG=√7/2 
根据三角形面积关系,设NE=NF=n 
S△ENG+S△ONG=S△OEG 
n×EG+n×OG=EG×OE 
n/2+√7n/2=√6/4 
n=√6×(√7-1)/12 
即内切球半径为 
√6×(√7-1)/12