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在三角形ABC中 三角形面积等于15倍根号3 a+b+c=30 ∠A+∠C等于∠B的一半 求三角形三边长a b c 等于多少?
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在三角形ABC中 三角形面积等于15倍根号3 a+b+c=30 ∠A+∠C等于∠B的一半 求三角形三边长a b c 等于多少?
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答案和解析
∠A+∠B+∠C=180° ∠A+∠C=∠B/2可知∠B=120°
过A做AD⊥BC交BC的反向延长线与D
三角形ABD是∠ABD=60°的直角三角形
AB=c,AD=(c√3)/2,BD=c/2
a+b+c=30,1/2*AD*BC=1/2*(c√3)/2*a=15√3
再由余弦定理a^2+c^2-b^2=(cos120°)*2*a*c
根据1/2*AD*BC=1/2*(c√3)/2*a=15√3 可知a*c=60,
所以a^2+c^2+2*a*c-b^2=60
(a+b+c)*(a+c-b)=60
a+c-b=2
根据a+b+c=30 a+c-b=2 a*c=60
以上可以解出a=10,b=6,c=14或a=6,b=10,c=14
过A做AD⊥BC交BC的反向延长线与D
三角形ABD是∠ABD=60°的直角三角形
AB=c,AD=(c√3)/2,BD=c/2
a+b+c=30,1/2*AD*BC=1/2*(c√3)/2*a=15√3
再由余弦定理a^2+c^2-b^2=(cos120°)*2*a*c
根据1/2*AD*BC=1/2*(c√3)/2*a=15√3 可知a*c=60,
所以a^2+c^2+2*a*c-b^2=60
(a+b+c)*(a+c-b)=60
a+c-b=2
根据a+b+c=30 a+c-b=2 a*c=60
以上可以解出a=10,b=6,c=14或a=6,b=10,c=14
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