在三角形ABC中,若acosA+bcosB=ccosC,则三角形ABC的形状是什么

Question

在三角形ABC中,若acosA+bcosB=ccosC,则三角形ABC的形状是什么

Answer 1

由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA得cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
同理可得,cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
把它们代入等式,得a(b^2+c^2-a^2)/2bc+b(a^2+c^2-b^2)/2ac=c(a^2+b^2-c^2)/2ab
去分母,就得到a^2(b^2+c^2-a^2)+b^2(a^2+c^2-b^2)=c^2(a^2+b^2-c^2)
a^2b^2+a^2c^2-a^4+a^2b^2+b^2c^2-b^4=a^2c^2+b^2c^2-c^4
2a^2b^2-a^4-b^4=-c^4,a^4-2a^2b^2+b^4=c^4,(a^2-b^2)^2=(c^2)^2
不妨设a>b,则有a^2-b^2=c^2,a^2=b^2+c^2
∴△ABC是直角三角形