如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点,点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动,点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q作射线QK⊥

Question

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点,点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动,点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q作射线QK⊥AB,交折线BC-CA于点G,点P,Q同时出发,当点P绕行一周回到点D时停止运动,点Q也随之停止,设点P,Q运动的时间是t秒（t＞0）,求：（1）线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分?若能,求出t的值,若不能,说明理由.（2）当点P运动到折线EF-FC上,且点P又恰好落在射线QK上时,求t的值.

Answer 1

（1）Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50∵D,F是AC,BC的中点,∴DF= AB=25
（2）能．
如图,连接DF,过点F作FH⊥AB于点H,
由四边形CDEF为矩形,可知QK过DF的中点O时,QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分
（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明）,
此时QH=OF=12.5．由BF=20,△HBF∽△CBA,得HB=16．
故t= ．
（3）①当点P在EF上（2 ≤t≤5）时,
如图,QB=4t,DE+EP=7t,
由△PQE∽△BCA,得 ．
∴t=4 ；
②当点P在FC上（5≤t≤7 ）时,
如图,已知QB=4t,从而PB=5t,
由PF=7t-35,BF=20,得5t=7t-35+20．
解得t=7 ；
（4）如图4t=1 ；如图5,t=7 ．
（4分）
（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2 时,点P下行,点G上行,可知其中存在PG∥AB的时刻,如图8；此后,点G继续上行到点F时,t=4,而点P却在下行到点E再沿EF上行,发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7 当时,点P,G均在FC上,也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行,所以在7 ＜t＜8中存在PG∥AB的时刻,如图5当8≤t≤10时,点P,G均在CD上,不存在PG∥AB）