已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠2）的对称轴为x=1,与x轴交于A、B两点,与y轴教于C,其中A（-3,0）（1）求这条抛物线的解析式（2）已知在抛物线的对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小,试求点P的坐标.

Question

已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠2）的对称轴为x=1,与x轴交于A、B两点,与y轴教于C,其中A（-3,0）
（1）求这条抛物线的解析式
（2）已知在抛物线的对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小,试求点P的坐标.
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、C重合）,过点D作DE∥PC交x轴与点E,连接PD、PE,设CD的长时m.△PDE的面积为S,求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值,若存在,求最大值：若不存在,请说明理由.
打错了，题目对称轴x=-1

Answer 1

我来帮你解好了
（1）由题意得{b/2a=1,9a-3b+c=0,c=-2,
解得{a=2/3b=4/3c=-2,
∴此抛物线的解析式为y=2/3x2+4/3x-2．
（2）连接AC、BC．
因为BC的长度一定,
所以△PBC周长最小,就是使PC+PB最小．
B点关于对称轴的对称点是A点,AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P．
设直线AC的表达式为y=kx+b,
则{-3k+b=0,b=-2,
解得{k=-2/3,b=-2,
∴此直线的表达式为y=-2/3x-2,
把x=-1代入得y=-4/3
∴P点的坐标为（-1,-4/3）．
（3）S存在最大值,
理由：∵DE∥PC,即DE∥AC．
∴△OED∽△OAC．
∴OD/OC=OE/OA,即2-m/2=OE/3,
∴OE=3-3/2m,OA=3,AE=3/2m,
∴S=S△OAC-S△OED-S△AEP-S△PCD
=1/2×3×2-1/2×（3-3/2m）×（2-m）-1/2×3/2m×4/3-1/2×m×1
=-3/4m2+3/2m=-3/4（m-1）2+3/4
∵-3/4＜0
∴当m=1时,S最大=3/4．