已知椭圆E的中心在坐标原点,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3/2)若直线l:y=k(x-1)与椭圆E交于M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上

Question

已知椭圆E的中心在坐标原点,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3/2)
若直线l:y=k(x-1)与椭圆E交于M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上

Answer 1

1）设椭圆Ax^2+By^2=1
代入(-2.0).(1.3/2),解得A=1/4,B=1/3
所以E方程x^2/4+y^2/3=1
（2）直线L:y=k(x-1)(k不等于零)与椭圆联立：(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0;
M(x1,y1)、N(x2,y2);
x1+x2=8k^2/(3+4k^2);（1）
y1+y2=-6k/（3+4k^2）；（2）
直线AM:y=(y1)/(x1+2)(x+2);与x=4交点P（4,6y1/(x1+2)）;
直线BN:y=(y2)(x1-2)(x-2);与x=4交点Q(4,2y2/(x2-2));
PQ向量：(0,2y2/(x2-2)-6y1/(x1+2)),将（1）、（2）代入：
2y2/(x2-2)-6y1/(x1+2)=(6y1+8k^2y1+12k)/[(3+4k^2)x1+6]-(6y1)/(x1+2)
=[-(12+16k^2)x1y1+12kx1+(16k^2-24)y1+24k]/[(3x1+4k^2x1+6)(x1+2)];将y1=k(x1-1)代入：
=-4k[(3+k^2)x1^2-8k^2x1+4k^2-12]/[(3x1+4k^2x1+6)(x1+2)];
=0;
故PQ重合,且在x=4上