用综合法证明,设a>0,b>0且a+b=1则(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2 步骤一定要详细一点……

Question

用综合法证明,设a>0,b>0且a+b=1则(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2 步骤一定要详细一点……

Answer 1

∵a＞0、b＞0、a＋b＝1,而a＋b≧2√（ab）,∴1≧4ab,∴1/2－2ab≧0.
∴（a＋1/a）^2＋（b＋1/b）^2
＝［a＋（a＋b）/a］^2＋［b＋（a＋b）/b］^2
＝（1＋a＋b/a）^2＋（1＋b＋a/b）^2
＝1＋2（a＋b/a）＋（a＋b/a）^2＋1＋2（b＋a/b）＋（b＋a/b）^2
＝2＋2［（a＋b/a）＋（b＋a/b）］＋a^2＋2b＋（b/a）^2＋b^2＋2a＋（a/b）^2
＝2＋2［（a＋b）＋（b/a＋a/b）］＋（a^2＋b^2）＋2（a＋b）＋［（a/b）^2＋（b/a）^2］
＝4＋2［1＋（b/a＋a/b）］＋［（a＋b）^2－2ab］＋［（b/a＋a/b）^2－2］
＝6＋2（b/a＋a/b）＋（1－2ab）＋（b/a＋a/b）^2－2
＝4＋［（b/a＋a/b）^2＋2（b/a＋a/b）＋1］－2ab
＝7/2＋［（b/a＋a/b）＋1］^2＋（1/2－2ab）
≧7/2＋［（b/a＋a/b）＋1］^2.
又（b/a＋a/b）≧2,∴［（b/a＋a/b）＋1］^2≧（2＋1）^2＝9.
显然,a＋b≧2√（ab）、b/a＋a/b≧2都在a＝b时同时取等号,
∴（a＋1/a）^2＋（b＋1/b）^2≧7/2＋9＝25/2.
于是,问题得证.