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用综合法证明,设a>0,b>0且a+b=1则(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2 步骤一定要详细一点……
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用综合法证明,设a>0,b>0且a+b=1则(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2 步骤一定要详细一点……
▼优质解答
答案和解析
∵a>0、b>0、a+b=1,而a+b≧2√(ab),∴1≧4ab,∴1/2-2ab≧0.
∴(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=[a+(a+b)/a]^2+[b+(a+b)/b]^2
=(1+a+b/a)^2+(1+b+a/b)^2
=1+2(a+b/a)+(a+b/a)^2+1+2(b+a/b)+(b+a/b)^2
=2+2[(a+b/a)+(b+a/b)]+a^2+2b+(b/a)^2+b^2+2a+(a/b)^2
=2+2[(a+b)+(b/a+a/b)]+(a^2+b^2)+2(a+b)+[(a/b)^2+(b/a)^2]
=4+2[1+(b/a+a/b)]+[(a+b)^2-2ab]+[(b/a+a/b)^2-2]
=6+2(b/a+a/b)+(1-2ab)+(b/a+a/b)^2-2
=4+[(b/a+a/b)^2+2(b/a+a/b)+1]-2ab
=7/2+[(b/a+a/b)+1]^2+(1/2-2ab)
≧7/2+[(b/a+a/b)+1]^2.
又(b/a+a/b)≧2,∴[(b/a+a/b)+1]^2≧(2+1)^2=9.
显然,a+b≧2√(ab)、b/a+a/b≧2都在a=b时同时取等号,
∴(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≧7/2+9=25/2.
于是,问题得证.
∴(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=[a+(a+b)/a]^2+[b+(a+b)/b]^2
=(1+a+b/a)^2+(1+b+a/b)^2
=1+2(a+b/a)+(a+b/a)^2+1+2(b+a/b)+(b+a/b)^2
=2+2[(a+b/a)+(b+a/b)]+a^2+2b+(b/a)^2+b^2+2a+(a/b)^2
=2+2[(a+b)+(b/a+a/b)]+(a^2+b^2)+2(a+b)+[(a/b)^2+(b/a)^2]
=4+2[1+(b/a+a/b)]+[(a+b)^2-2ab]+[(b/a+a/b)^2-2]
=6+2(b/a+a/b)+(1-2ab)+(b/a+a/b)^2-2
=4+[(b/a+a/b)^2+2(b/a+a/b)+1]-2ab
=7/2+[(b/a+a/b)+1]^2+(1/2-2ab)
≧7/2+[(b/a+a/b)+1]^2.
又(b/a+a/b)≧2,∴[(b/a+a/b)+1]^2≧(2+1)^2=9.
显然,a+b≧2√(ab)、b/a+a/b≧2都在a=b时同时取等号,
∴(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≧7/2+9=25/2.
于是,问题得证.
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