设a,b,c分别为三角形ABC所对的边,则a2=b(b+c)是A=2B的什么条件

Question

设a,b,c分别为三角形ABC所对的边,则a2=b(b+c)是A=2B的什么条件

Answer 1

a^2=b(b+c)是A=2B的充分必要条件
1.
因为 A=2B
所以 sinC=sin(A+B)=sin3B
所以(sinB+sinC)/sinA=(sinB+sin3B )/sin2B
=[ sinB+3sinB -4(sinB)^3]/(2 sinB cosB)
(此处用到了正弦三倍角公式：sin3B=3sinB -4(sinB)^3 )
= [ 4sinB-4(sinB)^3]/(2 sinB cosB)
=(2-2( sinB)^2)/ cosB
=2cosB .
因为 sinA/sinB=2sinBcosB/sinB=2cosB=(sinB+sinC)/sinA
所以 a/b=(b+c)/a
所以 a^2=b*(b+c)
2.
因为 a^2=b(b+c),
(sinA)^2=(sinB)^2+sinBsinC,
(sinA)^2=(sinB)^2+sinBsin(A+B)
所以 (sinA+sinB)(sinA-sinB)=sinBsin(A+B)
所以 4sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]*cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]=sinBsin(A+B)
(此处用到了和差化积的公式:sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2] )
所以 sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B)
所以 sin(A-B)=sinB
所以 A=2B