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设A是n阶矩阵,且A＾2=A,证明r（A）+r(A-E)=n
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设A是n阶矩阵,且A＾2=A,证明r（A）+r(A-E)=n
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答案和解析
书上例题.由A＾2=A得出A的最小多项式只可能是三种情形
1）A=0,显然命题成立
2）A-E=0,命题也显然成立
3）A（A-E）=0,最小多项式没有重根,也就是说没有若当块,换句话说就是特征值0,1的特征子空间张满全空间.
又因为Ax=0的解空间维数等于n-r(A),（A-E）x=0的解空间维数等于n-r(A-E),
n-r(A)+n-r(A-E)=n,所以有r（A）+r(A-E)=n
1),2)可以归为3情况,可以不用讨论1）,2）
1）A=0,显然命题成立
2）A-E=0,命题也显然成立
3）A（A-E）=0,最小多项式没有重根,也就是说没有若当块,换句话说就是特征值0,1的特征子空间张满全空间.
又因为Ax=0的解空间维数等于n-r(A),（A-E）x=0的解空间维数等于n-r(A-E),
n-r(A)+n-r(A-E)=n,所以有r（A）+r(A-E)=n
1),2)可以归为3情况,可以不用讨论1）,2）
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