已知函数f（x）=x2+ax（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x²+(a)/(x)（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=x²
对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
∴f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（x）=x²+(a)/(x)（x≠0，常数a∈R），
取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0，
f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1）．
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设2≤x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x21+(a)/(x1)−x22−(a)/(x2)=((x1−x2))/(x1x2)[x₁x₂（x₁+x₂）-a]，
要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，
必须f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立．
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
即a＜x₁x₂（x₁+x₂）恒成立．
又∵x₁+x₂＞4，∴x₁x₂（x₁+x₂）＞16，
∴a的取值范围是（-∞，16]．