如图,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4)（1）若C为x轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°,连接OD,求∠AOD的度数；（2）过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半

Question

如图,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4)
（1）若C为x轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°,连接OD,求∠AOD的度数；
（2）过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式AM=OF+FM是否成立?若成立,请证明；若不成立,请说明理由.

Answer 1

1 AD OC交点为E 角ADC=AOB 角AEO=DEC得角OAD=OCD 所以三角形AOE∽DEC 得AE:EC=OE:ED 推出AE:OE=EC:ED 角OED=AEC所以三角形OED∽AEC 所以DOE=DAC=45°所以AOD=90°
(1) 过C作MC⊥OC,再延长OA,与MC交与M点
∵△AOB为等腰RT△
∴∠AOB=45°
∵MC⊥OC
∴∠MCO=90°=∠MCA+∠ACO
∴∠M=45°,MC=OC
∵△ACD也为等腰RT△
∴AC=DC,∠ACO+∠OCD=90°
∴∠OCD=∠MCA
∴△OCD≌△MCA
∴∠COD=∠M=45°
∴∠AOD=45°+45°=90°
（2） 成立
证：在AM上找一N点,使得AN=0F,再连接EN、NC
∵A（4,4）,AE⊥OE
∴∠AEO=90°
∴AE=OA
∵AM⊥x轴
∴∠AOC=45°=∠OAM
∴∠EAM=90°=∠EOF
∵AN=OF
∴△AEN≌△OEF
∴∠AEN=∠OEF,EN=EF
∴∠OEF+∠NE0=∠AEN+NEO=90°
∵△EGH为等腰RT△
∴∠GEH=45°
∴∠NEM=45°
∵EN=EF,EM=EM
∴△ENM≌△EFM
∴FM=NM
∴FM+OF=NM+AN=AM
∴FM+0F=AM
∴两边同时除以OF
∴(FM/OF)+1=AM/OF
∴（AM/OF)-(FM/OF)=1
∴（AM-FM)/OF=1
∴原式成立