怎么样用数列极限的定义证明lim0.999…9（n个）=1(n趋近于无穷)

Question

怎么样用数列极限的定义证明lim0.999…9（n个）=1(n趋近于无穷)

Answer 1

记数列的通项为Xn,则X1=0.9＝1-1/10,Xn=0.999...9＝1-1/10^n
证明lim(n→∞) Xn＝1
证明：|
Xn-1|=1/10^n
对于任意的正数ε(ε＜1),要使得|Xn-1|＜ε,即1/10^n＜ε,只要n＞lg(1/ε),所以取正整数N=[lg(1/ε)],当n＞N时,恒有|Xn-1|＜ε.所以lim(n→∞) Xn＝1