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设X1=1,Xn=1+X（n-1）/[1+X(n-1)],证明Xn在n趋向于无穷大时极限存在,并求其值
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设X1=1,Xn=1+X（n-1）/[1+X(n-1)],证明Xn在n趋向于无穷大时极限存在,并求其值
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答案和解析
首先证明数列xn是一个递增的数列,用递推法,假设x(n)>x(n-1),那么
x(n)/(x(n)+1)>x(n-1)/(x(n-1)+1) 所以 x(n+1)>x(n),而易求的x2>x1,因此xn是一个递增数列,故其所有项数都大于1
其次证明数列xn是有界的,易知x(n-1)/(x(n-1)+1)是小于1的,因此xn
x(n)/(x(n)+1)>x(n-1)/(x(n-1)+1) 所以 x(n+1)>x(n),而易求的x2>x1,因此xn是一个递增数列,故其所有项数都大于1
其次证明数列xn是有界的,易知x(n-1)/(x(n-1)+1)是小于1的,因此xn
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