证明极限存在X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0)利用单调数列收敛准则证明,

Question

证明极限存在X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0)
利用单调数列收敛准则证明,

Answer 1

首先,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)>=1/2*2√a=√a则无论X1>0的值如何（所以可假定X1>√a）,Xn(n=2,3...)的值都大于或等于√a
如果X1=√a可以确定,Xn为常数列,其极限存在,且为√a.
如果X1不等于√a则Xn也不等于√a,且Xn>√a
故Xn+1-Xn=1/2(Xn+a/Xn)-Xn=1/2(a/Xn-Xn)