已知数列{an}满足：a1=1,an=a1+2a2+3a3+``````+(n-1)a(n-1)(n大于等于2）,则通项公式an是什么?

Question

已知数列{an}满足：a1=1,an=a1+2a2+3a3+``````+(n-1)a(n-1)(n大于等于2）,则通项公式an是什么?

Answer 1

令bn=n*an,bn的前n项和为Sn
则b1=a1=1,
bn=n*an=n*(a1+2a2+...+(n-1)a(n-1))
=n*(b1+b2+...+b(n-1))
=n*S(n-1)
又bn=Sn-S(n-1)
所以 Sn-S(n-1)=n*S(n-1)
Sn/S(n-1)=(n+1)
S1=b1=1
所以Sn通项为
Sn=[Sn/S(n-1)]*[S(n-1)/S(n-2)]*...*[S2/S1]*S1
=[n+1]*[n]*...*[3]*1
=(n+1)!/2
所以n>1时,bn=Sn-S(n-1)=(n+1)!/2-n!/2=(n/2)*n!
b1=1
所以n>1时,an=bn/n=n!/2
a1=1