正方体ABCD-A'B'C'D'对角线BD'和平面PMN(P为A'B'中点,M为AD中点,N为CC'中点)垂直

Question

正方体ABCD-A'B'C'D'对角线BD'和平面PMN(P为A'B'中点,M为AD中点,N为CC'中点)垂直

Answer 1

以A为原点,AD,AB,AA'分别为x,y,z轴建立直角座标系,并设正方形边长为2.则B(0,2,0),D'(2,0,2),P(0,1,2),M(1,0,0),N(2,2,1) 向量BD'=(2,-2,2),向量PM=(1,-1,-2),向量PN=(2,1,-1) 设平面PMN法向量为向量n=(x,y,1),则:x-y-1=0 2x+y-1=0 解得x=1,y=-1,因此向量n=(1,-1,1) ∴向量BD'=2向量n ∴向量BD'∥向量n ∴向量BD'是平面PMN的法向量,BD'⊥面PMN