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已知数列an满足a(n+1)=-an^2+2an,且a1=9/10,令bn=lg(1-an),求1/bn所有项和
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答案和解析
a(n+1) = -an^2 + 2an
1 - a(n+1) = an^2 - 2an + 1 = (1-an)^2
两边同时取lg,得:
lg(1 - a(n+1)) = 2lg(1-an)
因为bn=lg(1-an),所以:
b(n+1) = 2b(n)
而b(1) = lg(1-a1) = lg(1/10) = -1
所以:b(n)是首项为-1,公比为2的等比数列
所以:1/b(n)是首项为-1,公比为1/2的等比数列
1/b(n)的前n项和为:
S(n) = (-1) * [ 1 - (1/2)^n ] / (1 - 1/2)
= -2 + (1/2)^(n-1)
当n趋向于无穷时:
S(n) = -2
1 - a(n+1) = an^2 - 2an + 1 = (1-an)^2
两边同时取lg,得:
lg(1 - a(n+1)) = 2lg(1-an)
因为bn=lg(1-an),所以:
b(n+1) = 2b(n)
而b(1) = lg(1-a1) = lg(1/10) = -1
所以:b(n)是首项为-1,公比为2的等比数列
所以:1/b(n)是首项为-1,公比为1/2的等比数列
1/b(n)的前n项和为:
S(n) = (-1) * [ 1 - (1/2)^n ] / (1 - 1/2)
= -2 + (1/2)^(n-1)
当n趋向于无穷时:
S(n) = -2
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