已知数列{an}满足a1=1，a2=3，且2nan=（n-1）an-1+（n+1）an+1（n≥2且n∈N*）则ann的最大值为（）A.1B.32C.119D.52

Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且2na_n=（n-1）a_n-1+（n+1）a_n+1（n≥2且n∈N^*）则

(an)/(n)的最大值为（　　）

A. 1

B.

(3)/(2)

C.

(11)/(9)

D.

(5)/(2)

Answer 1

因为2na_n=（n-1）a_n-1+（n+1）a_n+1（n≥2且n∈N^*），
所以na_n-（n-1）a_n-1=（n+1）a_n+1-na_n（n≥2且n∈N^*），
又因为a₁=1，a₂=3，
所以（n+1）a_n+1-na_n=na_n-（n-1）a_n-1=…=2a₂-a₁=5，
所以数列{na_n}是首项为1、公差为5的等差数列，
所以na_n=1+5（n-1）=5n-4，
所以(an)/(n)=(5n-4)/(n2)=(5-(4)/(n))/(n)=（5-(4)/(n)）•(1)/(n)，
记f（x）=（5-4x）x，则函数y=f（x）图象是关于x=(5)/(8)对称、开口向下的抛物线，
由于0<x≤1，所以f（x）_max=f（(5)/(8)）=(25)/(16)，
由于n∈N^*，所以当n=2时(an)/(n)取得最大值(3)/(2)，
故选：B．