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已知△ABC的一个顶点为抛物线y^2=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°(1)证明:直线AB必过一定点(2)求△AOB面积的最小值

题目详情
已知△ABC的一个顶点为抛物线y^2=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°
(1)证明:直线AB必过一定点
(2)求△AOB面积的最小值
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:
对抛物线上任意不和O点重合的一点A(Xa,Ya),设满足题意的B点为B(Xb,Yb),则有:
Ya^2=2Xa; (1)
Yb^2=2Xb; (2)
Ya/Xa*Yb/Xb=-1 (AO⊥BO) (3)
(1)*(2),再将(3)代入:YaYb=-4
(1)-(2),可得AB的斜率=(Yb-Ya)/(Xb-Xa)=2/(Ya+Yb)
所以直线AB的方程为 (y-Ya)=2/(Ya+Yb)*(x-Xa)
(Ya+Yb)y-Ya^2-YaYb=2x-2Xa
所以(Ya+Yb)y=2x-4
即AB的方程为y=2/(Ya+Yb)*(x-2)
故直线AB恒过(2,0)点.
(2)设(2,0)点为D,则三角形AOB被OD分为同底(底长OD=2)的两个三角形AOD和BOD,它们的高分别为|Ya|和|Yb|.
S△AOB=1/2*2(|Ya|+|Yb|)≥2√(|Ya||Yb|)=2√|-4|=4,(当|Ya|=|Yb|时取等号)
所以△AOB面积的最小值=4