已知△ABC的一个顶点为抛物线y^2=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°（1）证明：直线AB必过一定点（2）求△AOB面积的最小值

Question

已知△ABC的一个顶点为抛物线y^2=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°
（1）证明：直线AB必过一定点
（2）求△AOB面积的最小值

Answer 1

（1）证明：
对抛物线上任意不和O点重合的一点A(Xa,Ya),设满足题意的B点为B(Xb,Yb),则有：
Ya^2=2Xa； （1）
Yb^2=2Xb； （2）
Ya/Xa*Yb/Xb=-1 (AO⊥BO) （3）
（1）*（2）,再将（3）代入：YaYb=-4
（1）-（2）,可得AB的斜率=（Yb-Ya)/(Xb-Xa)=2/(Ya+Yb)
所以直线AB的方程为 （y-Ya)=2/(Ya+Yb)*(x-Xa)
（Ya+Yb)y-Ya^2-YaYb=2x-2Xa
所以（Ya+Yb)y=2x-4
即AB的方程为y=2/(Ya+Yb)*(x-2)
故直线AB恒过（2,0）点.
（2）设（2,0）点为D,则三角形AOB被OD分为同底(底长OD=2）的两个三角形AOD和BOD,它们的高分别为|Ya|和|Yb|.
S△AOB=1/2*2（|Ya|+|Yb|）≥2√(|Ya||Yb|)=2√|-4|=4,（当|Ya|=|Yb|时取等号）
所以△AOB面积的最小值=4