二次函数y=1/3x2的图像如图所示,点A0位于坐标原点,A1,A2,A3 .An在y轴上,B1,B2,B3.Bn在二次函数y=1/3x2的第一象限的图像上,若△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,.△An-1BnAn都为等边三角形,请计算三角形A2009 B2010 A201

Question

二次函数y=1/3x2的图像如图所示,点A0位于坐标原点,A1,A2,A3 .An在y轴上,B1,B2,B3.Bn在二次函数y=1/3x2的第一象限的图像上,若△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,.△An-1BnAn都为等边三角形,请计算三角形A2009 B2010 A2010 的边长=--------------

Answer 1

分析：分别过B1,B2,B3作y轴的垂线,垂足分别为A、B、C,设A0A1=a,A1A2=b,A2A3=c,则AB1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,BB2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b,CB3=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c,再根据所求正三角形的边长,分别表示B1,B2,B3的纵坐标,逐步代入抛物线y=$\frac{2}{3}$x2中,求a、b、c的值,得出规律．
分别过B1,B2,B3作y轴的垂线,垂足分别为A、B、C,
设A0A1=a,A1A2=b,A2A3=c,则AB1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,BB2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b,CB3=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c,
在正△A0B1A1中,B1（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,$\frac{a}{2}$）,
代入y=$\frac{2}{3}$x2中,得$\frac{a}{2}$=$\frac{2}{3}$•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）2,解得a=1,即A0A1=1,
在正△A1B2A2中,B2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b,1+$\frac{b}{2}$）,
代入y=$\frac{2}{3}$x2中,得1+$\frac{b}{2}$=$\frac{2}{3}$•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）2,解得b=2,即A1A2=2,
在正△A2B3A3中,B3（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c,3+$\frac{c}{2}$）,
代入y=$\frac{2}{3}$x2中,得3+$\frac{c}{2}$=$\frac{2}{3}$•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c）2,解得c=3,即A2A3=3,
由此可得△A2009B2010A2010的边长=2010．
故答案为：2010．