如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OC=BD．若OA=1，∠AOB=120°，则MC•MD的取值范围是[38，12][38，12]．

Question

如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OC=BD．若OA=1，∠AOB=120°，则

MC

•

MD

的取值范围是

[(3)/(8)，(1)/(2)]

[(3)/(8)，(1)/(2)]

．

Answer 1

以OA为x轴，O为原点建立如图坐标系，则
∵半径OA=1，且∠AOB=120°，
∴弧AMB的中点M坐标为（(1)/(2)，(√(3))/(2)）
求得BO方程为：y=-√(3)x，
设C（1-m，0），则D（-(1)/(2)m，(√(3))/(2)m），（0≤m≤1）
∴

MC

=（(1)/(2)-m，-(√(3))/(2)），

MD

=（-(1)/(2)m-(1)/(2)，(√(3))/(2)m-(√(3))/(2)）
因此，

MC

•

MD

=（(1)/(2)-m）（-(1)/(2)m-(1)/(2)）-(√(3))/(2)（(√(3))/(2)m-(√(3))/(2)）
=(1)/(2)m²-(1)/(2)m+(1)/(2)=(1)/(2)（m-(1)/(2)）²+(3)/(8)
∴当m=(1)/(2)时，

MC

•

MD

有最小值为(3)/(8)；当m=0或1时，

MC

•

MD

有最小值为(1)/(2)
故答案为：[(3)/(8)，(1)/(2)]