（2014•虹口区三模）在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点H作OP的垂线交弧AB于点C，射线PC交弧AB于点D，联结OD．（1）如图，当弧AC=弧CD时，求弦CD的长；（2）

Question

（2014•虹口区三模）在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点H作OP的垂线交弧AB于点C，射线PC交弧AB于点D，联结OD．
（1）如图，当弧AC=弧CD时，求弦CD的长；
（2）如图，当点C在弧AD上时，设PA=x，CD=y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）设CD的中点为E，射线HE与射线OD交于点F，当DF=(1)/(4)时，请直接写出∠P的余切值．

Answer 1

如图1，（1）联结CO，∵HC垂直平分OP，
∴CP=CO=2，
∴∠COP=∠P，
∵

AC

=

CD

，
∴∠COP=∠DOC，
∴∠DOC=∠P，
又∵∠ODC=∠PDO，
∴△DOC∽△DPO，
∴(CD)/(OD)=(OD)/(CD+PC)
又CP=OD=OC=2，
∴(CD)/(2)=(2)/(CD+2)，
∴4=DC（DC+2），
解得：CD=-1+√(5)，CD=-1-√(5)（负舍）

（2）根据割线定理可知：PC•PD=PA•（AP+OA）
∵PC=OC=2，
∴2（2+y）=x（x+4），
∴y=(1)/(2)x²+2x-2，（2√(2)-2≤x≤2√(3)-2）


（3）如图2，连接OC和OE．
显然可以得：Rt△CHP≌Rt△CHO，
∴∠CPH=∠COH=x（不妨设其大小为x）
∴∠DCO=2x．（三角形外角的性质定理），
同时，PC=OC=2，
∵CE=DE（已知）
∴由垂径定理可知：OE⊥CD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=2x．
同时，由锐角三角函数定义，
在Rt△OPE中．
tan∠APD=(OE)/(PE)，
∵∠CHO=∠CEO=90°，
∴四点B，C，E，O四点共圆，
∴由同圆中，同弧上的圆周角相等可知
∠HEC=∠HOC=x，
∴∠DEF=∠HEC=∠HOC=x．
在△DEF中，由三角形外角性质定理，
∠ODC=∠F+∠DEF，
∴2x=∠F+x，
∴∠F=x．
∴△DEF为等腰三角形，
CE=DE=DF=(1)/(4)．
∴PE=PC+CE=2+(1)/(4)=