已知数列{an}是等差数列,an+1》an,a1·a10=160,a3+a8=37求数列an的通项公式若从数列{an}中一次取出第二项,第四项,第八项,.第2的n次方项,按原来的顺序组成一个新数列bn,求bn的前n项和

Question

已知数列{an}是等差数列,an+1》an,a1·a10=160,a3+a8=37
求数列an的通项公式
若从数列{an}中一次取出第二项,第四项,第八项,.第2的n次方项,按原来的顺序组成一个新数列bn,求bn的前n项和

Answer 1

（1）设数列首项为a1=a,公差为d,由等差数列特点知道a3+a8=37=a1+a10则
a(a+9d)=160
a+a+9d=37解得a1=5,a10=32或者a1=32,a10=5,利用an+1》an知道
a1=5,a10=32;an=5+3(n-1)=3n+2,n为正整数.
解答本题关键在于利用等差数列的性质,如果等号两边的下标之和相等则他们的和相等,比如本题a3+a8=a1+a10.其实等比数列也有类似性质,只是变为了下标之和相等则乘积相等,比如数列2,6,18,54.中2与54的乘积和6与18的乘积相等.
（2）取出的数列中的前几项列写如下：8,14,26...
则b=3*2^n+2,n为正整数.
sn=8+14+26+50+...+3*2^(n-1)+2 + 3*2^n+2
2*sn= 16+28+52+...+3*2^(n-1)+4 +3*2^n+4 +3*2^(n+1)+4
则2*sn-sn=sn=-8+2*(n-1)+3*2^(n+1)+4=3*2^(n+1)+2*n-6
所以sn=3*2^(n+1)+2*n-6

此处关键在于看得出来数列bn包含了一个等差数列和一个等比数列的和,根据这个特点构造另外一个前n项和相关的和式,然后错位相消.
说明*表示乘积,如2*3=6；^表示乘方,如2^2=4,2^(2+1)=8