已知a1^2+a2^2+...an^2=1,x1^2+x2^2+...+xn^2=1,求证 a1x1+a2x2+...+anxn ≤ 1

Question

已知a1^2+a2^2+...an^2=1,x1^2+x2^2+...+xn^2=1,求证 a1x1+a2x2+...+anxn ≤ 1

Answer 1

可以用均值不等式证明.
2a1·x1 ≤ a1²+x1²,
2a2·x2 ≤ a2²+x2²,
...
2an·xn ≤ an²+xn².
相加即2(a1·x1+a2·x2+...+an·xn) ≤ (a1²+a2²+...+an²)+(x1²+x2²+...+xn²) = 2.
也即a1·x1+a2·x2+...+an·xn ≤ 1.
也可以套用Cauchy不等式(其实上面就是一种用均值不等式证明Cauchy不等式的方法).
1 = (a1²+a2²+...+an²)(x1²+x2²+...+xn²) ≥ (a1·x1+a2·x2+...+an·xn)²,
因此a1·x1+a2·x2+...+an·xn ≤ 1.