已知圆C的方程为x^2+y^2-2y-3=0,过点P（-1,2）的直线L与圆C交于A、B两点,若使|AB|最小,则直线L的方程是

Question

已知圆C的方程为x^2+y^2-2y-3=0,过点P（-1,2）的直线L与圆C交于A、B两点,若使|AB|最小,则直线L的方程是

Answer 1

直线L的方程是 y=x+3
做法一：
令直线L的方程为：y=kx+b
过点P（-1,2） 2=-k+b b=2+k
直线L的方程为：y=kx+b=kx+k+2
将 x^2+y^2-2y-3=0 与 y=kx+b=kx+k+2 xA,xB
其中 (xA-xB)²=12/(k²+1)-8k/(k²+1)² (1)
.(yA-yB)²=k²(xA-xB)²
|AB|=((xA-xB)²+(yA-yB)²)^(1/2)
.=((xA-xB)²+k²(xA-xB)²)^(1/2)
.=((xA-xB)²(k²+1))^(1/2)
当 (xA-xB)²(k²+1)最小时,|AB|最小
将 (1) 代入
(xA-xB)²(k²+1)=(12/(k²+1)-8k/(k²+1)²)(k²+1)=12-8k/(k²+1)
当 k>0 时,12-8k/(k²+1) 才有极小值
对 12-8k/(k²+1) 求导并令其等于零
得 k²=1 k=-1 （不合题意,舍去） k=1
直线L的方程为：y=kx+b=kx+k+2=x+1+2 y=x+3
做法二：
圆C：x^2+y^2-2y-3=0
变为 (x-0)²+(y-1)²=4 该园的圆心 O 是 (0,1)
点P（-1,2） 当 x=-1 时
圆C：x^2+y^2-2y-3=0 y=1±√3
可知点P（-1,2）在该园内,
|AB|为过点 P 的该园内的弦长
当 AB⊥PO 时,|AB|最小
PO的斜率为 k1=(2-1)/(-1-0)=-1
AB的斜率为 k2=-1/k1=1
直线L的方程为：y=(k2)x+b
.2=1*(-1)+b b=3
直线L的方程为：y=x+3