一道线性代数可逆证明已知A和B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA可逆

Question

一道线性代数可逆证明
已知A和B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA可逆

Answer 1

我们发现这题的条件比较少,所以考虑用反证法
假设E-BA不可逆,就是|E-BA|=0
这样一来,（E-BA）x=0就有非零解.
所以我们设α是一个非零解,然后把它（或者另外一个非零解）带入（E-AB）x=0,如果等式成立,那么就得到矛盾了,因为E-AB可逆,所以显然（E-AB）x=0只有零解
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证明：假设E-BA不可逆,则（E-BA）x=0有一个非零解α,即（E-BA）α=0.乘开来得到
α-BAα=0,即BAα=α
对于（E-AB）x=0,有（E-AB）Aα=Aα-AB Aα=Aα- Aα（因为BAα=α）=0
就是说,Aα这个非零向量是（E-AB）x=0的解,因为（E-AB）x=0只有0解,矛盾.
证毕
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