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已知f(x)在(0,+∞)上是增函数,而且f(x)>0,f(3)=1.判断g(x)=f(x)+1f(x)在(0,3)上是增函数还是减函数,并加以证明.
题目详情
已知f(x)在(0,+∞)上是增函数,而且f(x)>0,f(3)=1.判断g(x)=f(x)+
在(0,3)上是增函数还是减函数,并加以证明.
1 |
f(x) |
▼优质解答
答案和解析
函数g(x)在(0,3)上是减函数.
证明如下:任取0<x1<x2≤3,
则g(x1)−g(x2)=[f(x1)+
]−[f(x2)+
]=[f(x1)−f(x2)][1−
].
∵f(x)在(0,+∞)是增函数,∴f(x1)-f(x2)<0.又f(x)>0,f(3)=1,
∴0<f(x1)<f(x2)≤f(3)=1,
∴0<f(x1)•f(x2)<1,
>1,1−
<0.
∴g(x1)-g(x2)>0,即g(x1)>g(x2)
由此可知,函数g(x)=f(x)+
在(0,3)上是减函数.
证明如下:任取0<x1<x2≤3,
则g(x1)−g(x2)=[f(x1)+
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f(x1) |
1 |
f(x2) |
1 |
f(x1)f(x2) |
∵f(x)在(0,+∞)是增函数,∴f(x1)-f(x2)<0.又f(x)>0,f(3)=1,
∴0<f(x1)<f(x2)≤f(3)=1,
∴0<f(x1)•f(x2)<1,
1 |
f(x1)f(x2) |
1 |
f(x1)f(x2) |
∴g(x1)-g(x2)>0,即g(x1)>g(x2)
由此可知,函数g(x)=f(x)+
1 |
f(x) |
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