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定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足下面三个条件:①对任意正数a,b,都有f(a)+f(b)=f(ab);②当x>1时,f(x)<0;③f(2)=-1(Ⅰ)求f(1)和f(14)的值;(Ⅱ)试用单调性定义证
题目详情
定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足下面三个条件:
①对任意正数a,b,都有f(a)+f(b)=f(ab);
②当x>1时,f(x)<0;
③f(2)=-1
(Ⅰ)求f(1)和f(
)的值;
(Ⅱ)试用单调性定义证明:函数f(x)在(0,+∞)上是减函数;
(Ⅲ)求满足f(4x3-12x2)+2>f(18x)的x的取值集合.
①对任意正数a,b,都有f(a)+f(b)=f(ab);
②当x>1时,f(x)<0;
③f(2)=-1
(Ⅰ)求f(1)和f(
1 |
4 |
(Ⅱ)试用单调性定义证明:函数f(x)在(0,+∞)上是减函数;
(Ⅲ)求满足f(4x3-12x2)+2>f(18x)的x的取值集合.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)令x=y=1得f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0,
而f(4)=f(2)+f(2)=-1-1=-2,
且f(4)+f(
)=f(1)=0,则f(
)=2;
(Ⅱ)取定义域中的任意的x1,x2,且0<x1<x2,
∴
>1,
当x>1时,f(x)<0,
∴f(
)<0,
∴f(x2)-f(x1)=f(x1•
)-f(x1)=f(x1)+f(
)-f(x1)=f(
)<0,
∴f(x)在R+上为减函数.
(Ⅲ)由条件①及(Ⅰ)的结果得,
∵f(4x3-12x2)+2>f(18x),
∴f(4x3-12x2)+f(
)>f(18x),
∴f(x3-3x2)>f(18x),
∴
解得3<x<6,
故x的取值集合为(3,6)
而f(4)=f(2)+f(2)=-1-1=-2,
且f(4)+f(
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4 |
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4 |
(Ⅱ)取定义域中的任意的x1,x2,且0<x1<x2,
∴
x2 |
x1 |
当x>1时,f(x)<0,
∴f(
x2 |
x1 |
∴f(x2)-f(x1)=f(x1•
x2 |
x1 |
x2 |
x1 |
x2 |
x1 |
∴f(x)在R+上为减函数.
(Ⅲ)由条件①及(Ⅰ)的结果得,
∵f(4x3-12x2)+2>f(18x),
∴f(4x3-12x2)+f(
1 |
4 |
∴f(x3-3x2)>f(18x),
∴
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解得3<x<6,
故x的取值集合为(3,6)
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